Question

10．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D'′中，O是B′D′的中点．
（1）M、N分别是棱AB、B′C′的中点，求证：MN∥面AA′O．
（2）在线段AO上是否存在一点E，使得面A′EB′⊥面AOB′，若存在，请确定E点位置．；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接NO，证明MN∥AO，然后证明MN∥面AA′O．
（2）存在，点E的位置在于A′E⊥AO，交AO于点E，证明B′D′⊥A′O，B′D′⊥A′E，推出A′E⊥面AOB′，然后证明面A′EB′⊥面AOB′．

解答 解：（1）证明：连接NO，∵AM∥ON且AM=ON，
∴四边形AMNO是平行四边形，
∴MN∥AO，…（2分）
又∵MN?面AOA′，AO?面AOA′，
∴MN∥面AA′O．…（4分）
备注：其他方法亦可，酌情给分！
（2）存在，点E的位置在于A′E⊥AO，交AO于点E．…（6分）
证明如下：
∵O是B′D′的中点，且四边形A′B′C′D′是正方形，
∴B′D′⊥A′O，…（7分）
又∵正方体ABCD-A′B′C′D′，
∴AA′⊥面A′B′C′D′∴AA′⊥B′D′
∵AA′∩A′O=A′…（9分）
∴B′D′⊥面AA′O，
∴B′D′⊥A′E，…（11分）
∵A′E⊥AO，且AO∩OB′=O，
∴A′E⊥面AOB′，…（13分）
∵A′E?面A′EB′
∴面A′EB′⊥面AOB′．…（14分）

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用．