Question

已知向量

m

=（

2

cosx，-1），

n

=（

6

sinx，-

1

2

），x∈R，函数f（x）=

m

 • (

n

-

m

)+

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知a，b，c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，a=

7

，c=2，且f（A）是f（x）在[0，  

π

2

]上的最大值，求b的值和△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；由正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间即可；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）取得最大值时x的值，确定出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，进而确定出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵

m

=（

2

cosx，-1），

n

=（

6

sinx，-

1

2

），
∴f（x）=

m

•（

n

-

m

）+

3

2

=

m

•

n

-

m

²+

3

2

=2

3

sinxcosx+

1

2

-2cos²x-1+

3

2

=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴最小正周期T=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值，
∴A=

π

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，得7=b²+4-2b，
整理得：b²-2b-3=0，
解得：b=3或b=-1（舍），
则△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．