Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

3

asinB=bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由已知及正弦定理可解得tanA的值，从而可求A的值；
（2）由（1）可得b=2sinB，c=2sinC，从而可得△ABC周长L=a+b+c=1+

5+2 3

sin（C+φ），其中tanφ=

1 2

4+ 3 2

=

1

4+ 3

，故当sin（C+φ）取最大值1时，△ABC周长取最大值1+

5+2 3

．

解答： 解：（1）∵

3

asinB=bcosA．
∴

a

cosA 3

=

b

sinB

，
又由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

∴可得sinA=

cosA

3

，从而可解得tanA=

3

3

∵0＜A＜π
∴A=

π

6

（2）∵由（1）可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

sin π 6

=2
∴可得b=2sinB，c=2sinC
∴△ABC周长L=a+b+c=1+2sinB+2sinC=1+2sin（

5π

6

-C）+2sinC=1+

1

2

cosC+

4+ 3

2

sinC=1+

( 1 2 )2+( 4+ 3 2 )2

sin（C+φ）=1+

5+2 3

sin（C+φ），其中tanφ=

1 2

4+ 3 2

=

1

4+ 3

，
故当sin（C+φ）取最大值1时，△ABC周长取最大值1+

5+2 3

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．