Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁，=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

4

，a₄=

1

8

，于是可猜想a_n=(

1

2

)n-1（n∈N^* ）；
（Ⅱ）由于b_n=na_n=n(

1

2

)n-1，设S_n是数列数列{b_n}的前n项和，利用错位相减法即可求得S_n=4-

n+2

2n-1

．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁，=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

4

，a₄=

1

8

，
猜想a_n=(

1

2

)n-1（n∈N^* ）…（4分）
（Ⅱ）b_n=na_n=n(

1

2

)n-1，
设S_n是数列数列{b_n}的前n项和，
S_n=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+（n-1）×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1，①

1

2

S_n=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+…+（n-1）×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n，②
①-②得，

1

2

S_n=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n
=2-

n+2

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

．…（10分）

点评：本题考查数列的求和，考查运算与猜想的能力，着重考查错位相减法求和，属于中档题．