Question

已知函数f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a-2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=4时，f（x）的定义域为x＞0，f′(x)=2x-

4

x

，由f′(x)=2x-

4

x

=0，得x=

2

，由此能求出函数f（x）在[1，e]上的最小值为-3，相应的x的值为e．
（Ⅱ）f（x）≥（a-2）x等价于a（x+lnx）≤x²+2x，即a≤

x2+2x

x+lnx

，x∈[2，e]，令g（x）=

x2+2x

x+lnx

，x∈[2，e]，g（x）的最小值为g（2）=

8

2+ln2

，由此能求出a的取值范围是（-∞，

8

2+ln2

）．

解答： 解：（Ⅰ）a=4时，f（x）=x²-4lnx，
∴f（x）的定义域为x＞0，
f′(x)=2x-

4

x

，
由f′(x)=2x-

4

x

=0，得x=

2

，或x=-

2

（舍），
∵f（1）=1-4ln1=1，
f（

2

）=1-4ln

2

=1-2ln2，
f（e）=1-4lne=-3，
∴函数f（x）在[1，e]上的最小值为-3，相应的x的值为e．
（Ⅱ）f（x）≥（a-2）x等价于a（x+lnx）≤x²+2x，
∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，
∴a≤

x2+2x

x+lnx

，x∈[2，e]，
令g（x）=

x2+2x

x+lnx

，x∈[2，e]，
g′(x)=

x2-x-2+(2x+2)lnx

(x+lnx)2

=

(x+1)(x-2+2lnx)

(x+lnx)2

，
当x∈[2，e]时，x+1＞0，lnx≤1，x-2+2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[2，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（2）=

8

2+ln2

，所以a的取值范围是（-∞，

8

2+ln2

）．

点评：本题考查函数的最小值及相应的x的值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．