Question

14．△ABC中，角A．B，C的对边分别为3，4，5，点H位于AB边上，沿CH折叠△ABC，若折叠过程中始终有AB⊥CH，则三棱锥H-ABC的体积的最大值为$\frac{288}{125}$．

Answer 1

分析 由条件可知CH⊥AB，故当AH⊥BH时，三棱锥的体积最大，利用三角形相似求出各边长即可得出最大体积．

解答 解：∵折叠过程中始终有AB⊥CH，
∴CH⊥平面ABH，
∴CH⊥AB．
∴当AH⊥BH时，三棱锥H-ABC的体积最大．
∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴CH=$\frac{12}{5}$，BH=$\frac{9}{5}$，AH=$\frac{16}{5}$．
∴三棱锥H-ABC的最大体积为$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{5}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{288}{125}$．
故答案为：$\frac{128}{125}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．