Question

4．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE折起，使得∠DEC=120°．
（Ⅰ）求证：平面DCF⊥平面DCE；
（Ⅱ）求点B到平面DCF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AE⊥DE，AE⊥CE，知AE⊥面DCE，从而CF⊥面DCE，由此能证明平面DCF⊥平面DCE．
（2）过点E作z轴⊥面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面DCF的距离．

解答 证明：（Ⅰ）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE=E，
∴AE⊥面DCE，…（2分）
又AE∥CF，∴CF⊥面DCE，
又CF?面DCF，
∴平面DCF⊥平面DCE．…（5分）
解：（2）∵AE⊥DE，AE⊥CE，∠DEC=120°，
过点E作z轴⊥面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），D（0，-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
B（$\sqrt{3}$，2，0），F（$\sqrt{3}$，1，0），…（7分）
$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面DCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\sqrt{3}x+\frac{3}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\frac{3}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），…（9分）
∴点B到平面DCF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．