Question

18．求下列各曲线的标准方程
（1）焦点是椭圆16x²+9y²=144的左顶点的抛物线；
（2）与双曲线$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=1$共渐进线且过点$（1，\sqrt{3}）$的双曲线．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），其焦点坐标为$（-\frac{p}{2}，0）$，则$\frac{p}{2}=3$，由此能求出抛物线的标准方程．
（2）由已知可设双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=λ（λ≠0）$，将点$（1，\sqrt{3}）$代入，能求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由已知，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$，其左顶点为（-3，0），
设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），其焦点坐标为$（-\frac{p}{2}，0）$，
则$\frac{p}{2}=3$，即p=6，
所以抛物线的标准方程为y²=-12x．…（5分）
（2）由已知可设双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=λ（λ≠0）$
将点$（1，\sqrt{3}）$代入该方程，得：$\frac{{{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}{{{5^{\;}}}}-\frac{{{1^{\;}}}}{5}=λ$，解得$λ=\frac{2}{5}$
所以双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{{{5^{\;}}}}-\frac{x^2}{5}=\frac{2}{5}$，即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$…．…（10分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、双曲线性质的合理运用．