Question

8．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圆x²+y²=（$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$）²，（c为椭圆的半焦距）对任意t∈[1，2]恒有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{4}{5}$]
• B． （$\frac{4}{5}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，由题意可得b＜$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$＜a对任意t∈[1，2]恒成立，运用恒成立思想可得，b＜$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{2}$，且a＞b+$\frac{c}{2}$，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：圆x²+y²=（$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$）²的圆心为（0，0），半径为$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$，
由题意可得b＜$\frac{b}{2}$t+$\frac{c}{2}$＜a对任意t∈[1，2]恒成立，
即有b＜$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{2}$，且a＞b+$\frac{c}{2}$，
可得b＜c且（a-$\frac{c}{2}$）²＞b²=a²-c²，
即有a²-c²＜c²，且c＞$\frac{4}{5}$a，
由题意e=$\frac{c}{a}$，可得e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$且e＞$\frac{4}{5}$．
即有$\frac{4}{5}$＜e＜1．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，椭圆和圆的位置关系，注意运用恒成立思想，考查离心率的范围，属于中档题．