Question

10．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆Γ的方程．
（Ⅱ）设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，得（1+2k²）x²+16kx+24=0，由此利用韦达定理、椭圆对称性，结合已知条件能证明AD恒过定点（0，1）．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，
∴由已知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}={{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}_{\;}}}\\{b=2}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，（2分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}}\right.$，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$（4分）
证明：（Ⅱ）由已知可设AB方程为y=kx+4（k＞0），
代入$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，得（1+2k²）x²+16kx+24=0，（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^{\;}}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{24}{{1+2{k^2}}}$（6分）
由对称性知D（-x₂，y₂），∴AD方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}（x-{x_1}）$，（8分）
∵y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，
∴AD方程可化为$y=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}（x-{x_1}）+k{x_1}+4$（9分）
=$\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}x-\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}{x_1}+k{x_1}+4$
=$\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}x+k{x_1}\frac{{2{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}+4=\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}x+2k×\frac{{\frac{24}{{1+2{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^{\;}}}}{{1+2{k^2}}}}}+4$
=$\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}x+1$（12分）
∴AD恒过定点，定点为（0，1）（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线方程的合理运用．