Question

13．设函数f（x）=|2x-1|+|x-3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|-|y-1|）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即可；
（Ⅱ）问题转化为$\frac{5}{2}$＞m（|y+1|-|y-1|）对任意的y∈R恒成立，设t=|y+1|-|y-1|，求出t的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4，x＜\frac{1}{2}}\\{x+2，\frac{1}{2}≤x＜3}\\{3x-4，x≥3}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最小值是$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|-|y-1|）恒成立，
由题意得：$\frac{5}{2}$＞m（|y+1|-|y-1|）对任意的y∈R恒成立，
设t=|y+1|-|y-1|，|t|=||y+1|-|y-1||≤2，
∴-2≤t≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}＞-2m}\\{\frac{5}{2}＞2m}\end{array}\right.$，解得m∈（-$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．