某小学对五年级的学生进行体质测试.已知五年一班共有学生30人.测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图:男生成绩在175cm以上定义为“合格 .成绩在175cm以下定义为“不合格．女生成绩在165cm以上定义为“合格 .成绩在165cm以下定义为“不合格．(Ⅰ)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数,(Ⅱ)在五年一班的男生中任意选取3人.求至少有2人的成绩是合格的概� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．
（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；
（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；
（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

分析（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．
（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．
（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为$\frac{165+168}{2}=166.5$cm．…（2分）
（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，
至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），
又男生共12人，其中有8人合格，从而$P（A）=\frac{C_4^1•C_8^2}{{C{\;}_{12}^3}}$，（4分）
$P（B）=\frac{C_8^3}{{C{\;}_{12}^3}}$，所以$p=\frac{42}{55}$．（6分）
（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，
依题意，X的取值为0，1，2．
则$P（X=0）=\frac{{C_8^0C_{10}^2}}{{C_{18}^2}}=\frac{5}{17}$，
$P（X=1）=\frac{{C_8^1C_{10}^1}}{{C_{18}^2}}=\frac{80}{153}$，
$P（X=2）=\frac{{C_8^2C_{10}^0}}{{C_{18}^2}}=\frac{28}{153}$，
（每项1分）（10分）
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

∴$E（X）=0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}=\frac{136}{153}=\frac{8}{9}$（人）．（未化简不扣分）（12分）
（或是，因为X服从超几何分布，所以$E（X）=2×\frac{8}{18}=\frac{8}{9}$（人）．

点评本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．