Question

7．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x}-blnx（b∈R）$，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）设g（x）=x²，求证g（x）＞f（x）-2ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；
（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=x-\frac{1}{x}-blnx$，
所以$f'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{b}{x}=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x^2}$…（2分）
由题设知f'（1）=2-b=0，
∴b=2…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，
故只需证${x^2}-x+\frac{1}{x}+2lnx+2ln2＞0$，
设$F（x）={x^2}-x+\frac{1}{x}+2lnx+2ln2（{x＞0}）$，…（6分）
F′（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1+2x}{{x}^{2}}$=$\frac{（{x}^{2}+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$
令F′（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$…（8分）
当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，F′（x）＜0，
当$x＞\frac{1}{2}$时，F'（x）＞0，
所以，$F{（x）_{min}}=F（\frac{1}{2}）=\frac{7}{4}＞0，F（x）＞0$…（11分）
所以，g（x）＞f（x）-2ln2…（12分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系，以及构造函数利用函数单调性最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．