Question

19．如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别与OA、OB交于A、B．
（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；
（Ⅱ）当AB的中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，因为AB的中点为P，由中点坐标公式列方程求解即可．
（Ⅱ）同（Ⅰ）求出A、B点坐标，求出中点坐标，因为AB的中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上，代入求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在直角坐标系中，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，可得射线OA：x-y=0（x≥0），OB：$\sqrt{3}$x+3y=0（x≥0），
由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，
分别与射线OA、OB联立，得A（$\frac{1}{1-m}$，$\frac{1}{1-m}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）
因为AB的中点为P，由中点坐标公式$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$=0，解得m=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
所以直线AB的方程为：2x-（1-$\sqrt{3}$）y-2=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB的中点M坐标为：（$\frac{\frac{1}{1-m}+\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{\frac{1}{1-m}-\frac{1}{m+\sqrt{3}}}{2}$），
因为AB的中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上，所以$\frac{\frac{1}{1-m}-\frac{1}{m+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{1}{1-m}+\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}}{2}$，
解得：m=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，所以直线AB的方程为：3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0

点评 本题考查两条直线的交点坐标、中点坐标公式及求直线方程问题，考查运算能力．