Question

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）若a=2，求角C；
（Ⅱ）若D为AC的中点，BD=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，可得sinA=$\frac{1}{2}$，又a＜b，可得A为锐角，可得C=π-A-B．
（II）在△ABC中，由余弦定理可得：$cos\frac{2π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，化为：a²+c²+ac=12．在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ADB+cos∠BDC=0，化为：a²+c²=10．联立解出即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，
∴sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2×sin\frac{2π}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
又a＜b，∴A为锐角，A=$\frac{π}{6}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理可得：$cos\frac{2π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-12}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，化为：a²+c²+ac=12．
在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ADB+cos∠BDC=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-{c}^{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{3}}$+$\frac{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=0，
化为：a²+c²=10．
与a²+c²+ac=12联立解得：ac=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．