Question

已知函数f（x）=x²-2ax-b²+16．
（1）若a，b是一枚骰子投掷两次所得到的点数，求函数f（x）无零点的概率；
（2）如图，在边长为4的正方形内均匀地取n个点P_i（x_i，y_i），若a=x_i，b=y_i（i∈{1，2，…，n}），统计出使函数f（x）有两个不相等零点的点P_i的个数为m，当n充分大时，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数是6×6，满足条件的是使得二次函数f（x）=x²-2ax-b²+16无零点，
即满足△=a²+b²＜16，讨论当a为1、2、3、4、5、6时对应的b的值，得到满足条件的事件数，得到结果．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形区域面积为4×4=16，满足条件的是使得二次函数f（x）=x²-2ax-b²+16有两个不相等零点即满足△=a²+b²＞16，利用几何概型与古典概型概率关系得到m，n表示的π的等式，求出π．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件数是6×6=36，
满足条件的是使得二次函数f（x）=x²-2ax-b²+16无零点，
即满足△＜0，
△=a²+b²＜16，
共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共有8个，
∴函数f（x）无零点的概率是

8

36

=

2

9

；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的所有事件是正方形区域面积为4×4=16，
满足条件的是使得二次函数f（x）=x²-2ax-b²+16有两个不相等零点
即满足△＞0，即△=a²+b²＞16，对应区域如图阴影部分，其面积为4²-π×4²×

1

4

=16-4π=m，
所以

m

n

=

16-4π

16

，所以π=4(1-

m

n

)．

点评：本题考查了古典概型与几何概型的概率求法；古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，本题主要考查函数零点的问题．