Question

已知三棱锥P-ABC，其中PA=PB=PC=2，D为棱PB中点，平面ACD⊥平面PBC，平面ACD⊥平面PAB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意得出V_P-ABC=

1

3

×S△ADC×PB=

2

3

×S_△ADC，转化为，面积的最值求解．

解答： 解：∵平面ACD⊥平面PBC，平面ACD⊥平面PAB，
PB⊥平面ACD，
∴PB⊥DA，PB⊥DC，
∵D为棱PB中点，
∴△PAB≌△PBC正三角形，
∵PA=PB=PC=2，
∴AD=DC=

3

，
∴V_P-ABC=

1

3

×S△ADC×PB=

2

3

×S_△ADC，
∵S_△ADC=

1

2

×sin∠ADC×AD×DC=

1

2

×

3

×

3

×sin∠ADC≤

3

2

，
∴三棱锥P-ABC体积的最大值为：

2

3

×

3

2

=1

点评：本题考查了空间几何体的体积，结合三角函数最值求解，属于中档题，关键是确定体积的公式，