Question

1．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知$AB=\sqrt{3}BC$，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值为$\sqrt{2}$；
②AB∥CE；
③${V_{B-ACE}}=\frac{1}{12}{a^3}$；
④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号为①④．

Answer 1

分析 在①中，由BC∥DE，知∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，由此能求出AB与DE所成角的正切值为$\sqrt{2}$；在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线；在③中，V_B-ACE=$\frac{1}{6}{a}^{3}$；在④中，由AD⊥平面BCDE，知AD⊥BC，又BC⊥CD，由此推导出平面ABC⊥平面ADC．

解答 解：∵正方形BCDE的边长为a，已知$AB=\sqrt{3}BC$，将△ABE沿BE边折起，
折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，
∴$AB=\sqrt{3}BC$=$\sqrt{3}a$，AE=$\sqrt{2}a$，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=$\sqrt{2}a$，
在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，
∵AB=$\sqrt{3}a$，BC=a，AC=$\sqrt{2}a$，∴BC⊥AC，
∴tan∠ABC=$\sqrt{2}$，∴AB与DE所成角的正切值为$\sqrt{2}$，故①正确；
在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线，故②错误；
在③中，${V}_{B_ACE}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{3}$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，故③错误；
在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC?平面ABC，
∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC?平面ADC，又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．