Question

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|cos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的零点个数为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：数形结合法

分析：本题应该采用图解法，在同一坐标系内画出函数在[-

1

2

，

3

2

]上图象交点的个数既是h（x）零点的个数．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数
∵f（x）=f（2-x） 
∴f（-x+2）=f（-x）
∴f（x）=f（x+2）
∴f（x）是周期函数，周期为2
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x³
∴当x∈[-1，0]]时，f（x）=-x³
∴x∈[1，

3

2

]时，f（x）=f（x-2）=-（x-2）³
对于g（x）=|cos（πx）|
∵g（-x）=g（x），
∴g（x）是偶函数
当x∈[-

1

2

，

1

2

]，πx∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosπx＞0，
∴g（x）=cos（πx），
当x∈[

1

2

，

3

2

]，πx∈[

π

2

，

3π

2

]，
∴cosπx＜0，
∴g（x）=-cos（πx）
在同一坐标系内画出函数f（x）和g（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的简图，如图示：

观察交点个数为5个
∴h（x）=g（x）-f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的零
 点个数有5个．
故答案为：A．

点评：本题考察了函数的零点的个数，转化为求函数交点的个数，采用了转化和数形结合思想．