Question

9．若△ABC的内角A，B，C所对的边a、b、c满足（a+b）²=10+c²，且cosC=$\frac{2}{3}$，则a²+b²的最小值为6．

Answer 1

分析 由已知可得a²+b²-c²=10-2ab，利用余弦定理可得cosC=$\frac{10-2ab}{2ab}$=$\frac{2}{3}$，解得：ab=3，利用基本不等式即可计算得解．

解答 解：∵（a+b）²=10+c²，且cosC=$\frac{2}{3}$，
∴由已知可得：a²+b²-c²=10-2ab，
又∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{10-2ab}{2ab}$=$\frac{2}{3}$，
∴解得：ab=3，
∴a²+b²≥2ab=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．