Question

18．下列四个命题：
①若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，则a的值为$\sqrt{3}$；
②等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公差为-$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5+2$\sqrt{6}$；
④在△ABC中，若sin²A＜sin²B+sin²C，则△ABC为锐角三角形．
其中正确命题的序号是①③  ．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 在①中，由△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，求出b=1，再根据余弦定理，得a=$\sqrt{3}$；在②中，利用等差数列通项公式、等比数列性质求出公差d=0或d=-$\frac{1}{2}$；在③中，利用基本不等式能求出当且仅当$\frac{3a}{b}=\frac{2b}{a}$时，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$取最小值5+2$\sqrt{6}$；在④中，由正弦定理得a²＜b²+c²，从而A为锐角，但B和C无法判断，因此可知该三角形为的形状无法判断．

解答 角：在①中，∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，
又△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA
∴$\frac{1}{2}•b×2×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=1，
根据余弦定理，得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2×$\frac{1}{2}$=3
∴a=$\sqrt{3}$，故①正确；
在②中，∵等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比数列，
∴（2+2d）²=2（2+3d），解得d=0或d=-$\frac{1}{2}$，故②错误；
在③中，∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）（a+b）=5+$\frac{3a}{b}+\frac{2b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{2b}{a}}$=5+2$\sqrt{6}$，
∴当且仅当$\frac{3a}{b}=\frac{2b}{a}$时，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$取最小值5+2$\sqrt{6}$，故③正确；
在④中，因为△ABC中，sin²A＜sin²B+sin²C，那么a²＜b²+c²，
故cosA＞0，即A为锐角，但B和C无法判断，因此可知该三角形为的形状无法判断，故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题真假的判断，涉及到正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．