Question

求下列函数的定义域、值域：
（1）y=

2-x2-1- 1 4

；
（2）y=log₂（x²+2x+5）；
（3）y=log 

1

3

（-x²+4x+5）；
（4）y=

loga(-x2-x)

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用指数函数的单调性，以及二次函数的值域，即可得到所求的定义域和值域；
（2）运用二次函数的值域以及对数函数的单调性，即可得到所求；
（3）运用二次不等式的解法，可得定义域，再由二次函数的值域结合对数函数的单调性，即可得到值域；
（4）对a讨论，a＞1，0＜a＜1，由被开方数非负和对数真数大于0，解不等式即可得到定义域；由二次函数的值域和对数函数的单调性，即可得到值域．

解答： 解：（1）由2-x2-1-

1

4

≥0可得，-x²-1≥-2，解得-1≤x≤1，即定义域为[-1，1]，
由于-x²-1≤-1，则

1

4

≤2-x2-1≤

1

2

，则有0≤2-x2-1-

1

4

≤

1

4

，即有0≤y≤

1

2

，则值域为[0，

1

2

]；
（2）由x²+2x+5＞0，解得x∈R，即定义域为R，
由x²+2x+5=（x+1）²+4≥4，则log₂（x²+2x+5）≥log₂4=2，即值域为[2，+∞）；
（3）由-x²+4x+5＞0，解得-1＜x＜5，即定义域为（-1，5），
由-x²+4x+5=-（x-2）²+9≤9，则log 

1

3

（-x²+4x+5）≥log 

1

3

9=-2，则值域为[-2，+∞）；
（4）当a＞1时，由-x²-x＞0且log_a（-x²-x）≥0，解得-1＜x＜0且x²+x+1≤0，即有x∈∅，
则y不为函数；
当0＜a＜1时，由-x²-x＞0且log_a（-x²-x）≥0，解得-1＜x＜0且x²+x+1≥0，即-1＜x＜0，
则定义域为（-1，0）；
由于-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，则log_a（-x²-x）≥log_a

1

4

，则值域为[

loga 1 4

，+∞）．

点评：本题考查函数的定义域和值域的求法，考查指数函数和对数函数的单调性和值域，考查运算能力，属于中档题和易错题．