Question

在高中数学课本中我们见过许多的“信息技术应用”，我们可以利用几何画板软件的拖动、动画及计算等功能来研究许多数学问题．比如：在平面内做一条线段KL，以定点A为圆心，以|KL|为半径作一圆，在圆内取一定点F，在圆上取动点B，作线段BF的中垂线与圆A的半径AB交于点P，当点B在圆上运动时，就会发现点P的运动轨迹．
（Ⅰ）你能猜出点P的轨迹是什么曲线吗？请说明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以线段AF的中点O为原点，以直线AF为x轴，建立平面直角坐标系，试求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点A作直线l与点P的轨迹交于两点M、N，试求线段MN的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，利用线段中垂线的性质，即可得出结论；
（Ⅱ）利用点差法，可得线段MN的中点Q的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆．理由如下：
连接PF，则|PF|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PA|+|PB|=|AB|=|KL|（定值）＞|AF|，
由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆．
∵|KF|=6，|AF|=4，
∴2a=6，2c=4，
∴a=3，c=2，
∴b=

5

，
∴点P的轨迹方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A（-2，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x，y）．
由点差法，可得x₁≠x₂，k_MN=

y1-y2

x1-x2

=

5(x1+x2)

-9(y1+y2)

=

5x

-9y

，
∴

5x

-9y

=

y

x+2

，即5x²+9y²+10x=0
x₁=x₂，Q（-2，0）也满足上述方程，
∴线段MN的中点Q的轨迹方程为5x²+9y²+10x=0．

点评：本题考查轨迹方程，考察椭圆的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．