Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于P、Q两点，如果

OP

•

OQ

=3，O为坐标原点．证明：直线l过定点．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于3，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

解答： 证：由题意，直线的斜率不为0，所以设l：ky=x+b，代入抛物线y²=2x，消去x得y²-2ky+2b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则y₁+y₂=2k，y₁y₂=2b，
∵

OP

•

OQ

=3，
∴x₁x₂+y₁y₂=3，即（k²+1）y₁y₂-kb（y₁+y₂）+b²=3
代入得2（k²+1）b-2k²b+b²=3，解得b=-3或者b=1，
∴直线方程为ky=x-3或者ky=x+1，
故直线l过定点（3，0）或者（-1，0）．

点评：本题主要考查向量的数量积的运算，以及直线与抛物线的位置关系．