Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cosx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=

3

2

且a=

3

2

b，试求角B的大小．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

求出A的大小，根据a=

3

2

b结合正弦定理即可求出B．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

6

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ，
即函数的单调递增区间为[-

π

6

+2kπ，

5π

6

+2kπ]，k∈Z．
（2）∵若f（A）=

3

2

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，则

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

2π

3

，解得A=

π

3

，
∵a=

3

2

b，
∴

sinA

sinB

=

a

b

=

3

2

，即sinB=1，
则B=

π

2

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．