Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}的前n项和为T_n，且T_n+

2n

an+1

=c（c为常数），证明b₂+b₄+…+b_2n＜

4

9

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由T_n+

2n

an+1

=c，an=2n-1．可得Tn+

2n

2n

=c，当n≥2时，Tn-1=c-

2(n-1)

2n-1

，可得b_n=T_n-T_n-1=

n-2

2n-1

，b_2n=

n-1

4n-1

．令S_n=b₂+b₄+…+b_2n=0+

1

4

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可证明．

解答： （1）解：由a_n+1=2a_n+1变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是以2为公比，a₁+1=2为首项的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴an=2n-1．
（2）证明：∵T_n+

2n

an+1

=c，an=2n-1．
∴Tn+

2n

2n

=c，
∴当n≥2时，Tn-1=c-

2(n-1)

2n-1

，
∴b_n=T_n-T_n-1=

n-2

2n-1

，
∴b_2n=

2n-2

22n-1

=

n-1

4n-1

．
令S_n=b₂+b₄+…+b_2n=0+

1

4

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

，
∴

1

4

Sn=

1

42

+

2

43

+…+

n-2

4n-1

+

n-1

4n

，
∴

3

4

Sn=

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n-1

4n

=

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

n-1

4n

=

1

3

(1-

1

4n-1

)-

n-1

4n

，
∴S_n=

4

9

(1-

3n+1

4n

)＜

4

9

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了“放缩法”证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．