题目内容
17．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）；现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点；
①求|AB|的值；
②求|PA|+|PB|的值；
③若线段AB的中点为Q，求|PQ|的值及点Q的坐标．
分析 （1）利用三种方程的互化方法，即可写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l1的方程为x-y+1=0，求出弦心距，联立直线方程，即可解决问题．
解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数，可得普通方程l：x-y-2=0；
曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ，即ρ2=8ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=8x，即：（x-4）2+y2=16
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l1的方程为x-y+1=0，
①圆心到直线的距离d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，∴|AB|=2$\sqrt{16-\frac{25}{2}}$=$\sqrt{14}$；
②设AB的中点为Q，则|PQ|=$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PB|=2|PQ|=$5\sqrt{2}$；
③由（2）知$|PQ|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，直线CQ的方程为x+y-4=0，与x-y+1=0联立，可得点Q的坐标$Q（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．
点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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1．对于函数$f（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}$，下列说法正确的是（ ）
| A． | f（x）是奇函数 | B． | f（x）是偶函数 | ||
| C． | f（x）是非奇非偶函数 | D． | f（x）既是奇函数又是偶函数 |
5．已知点P（a，b）和点Q（b-1，a+1）是关于直线l对称的两点，则直线l的方程为（ ）
| A． | x+y=0 | B． | x-y=0 | C． | x-y+1=0 | D． | x+y-1=0 |
如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC∥AD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°，F是SA的中点，E在SC上，AE=$\sqrt{5}$．
2．如果方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$-$\frac{{y}^{2}}{m-2}$=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是（ ）
| A． | m＞2 | B． | m＜1或m＞2 | C． | -1＜m＜2 | D． | m＜1 |
9．若函数y=log3x的反函数为y=g（x），则$g（\frac{1}{2}）$的值是（ ）
| A． | 3 | B． | ${log_3}\frac{1}{2}$ | C． | log32 | D． | $\sqrt{3}$ |