Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c）与双曲线的右支交于点P，且满足sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，可得∠PF₁F₂+∠PF₂F₁=90°，因此∠F₁PF₂=90°，由直线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得∠PF₁F₂=30°，由直角三角形的性质可知|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，再双曲线的定义，求得a和c的关系，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：sin∠PF₁F₂=cos∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂+∠PF₂F₁=90°，
∴∠F₁PF₂=90°，
由直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），过双曲线的左焦点，且tan∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PF₁F₂=30°，
∵|F₁F₂|=2c 
∴|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴2a=$\sqrt{3}$c-c
∴e=$\frac{c}{a}$$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}c-c}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，直角三角形的性质，双曲线的定义，解题时要注意数形结合思想的合理运用，属于中档题．