Question

若关于x的不等式x²-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≤-3
• B、m≥-3
• C、-3≤m≤0
• D、m≤-3或m≥0

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数f（x）=x²-4x，x∈[0，1]，将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于等于m，即得到m的取值范围．

解答： 解：∵x²-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立
令f（x）=x²-4x，x∈[0，1]，要使关于x的不等式x²-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，只要f（x）_min≥m即可，
∵f（x）的对称轴为x=2
∴f（x）在[0，1]上单调递减
∴当x=1时取到最小值为-3
∴实数m的取值范围是（-∞，-3]
故选A．

点评：解决不等式恒成立问题常通过分离参数，转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值．