Question

7．已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）在△ABC中，AB=3，bcosC=ccosB，且角A满足f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）（2）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，结合正弦函数图象的性质来求其最大值、单调增区间；
（3）由bcosC=ccosB，及正弦定理得：sinBcosC=sinCcosB，得出B=C，再求出sinA，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
所以sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1时，函数f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得函数f（x）=sinxcosx+cos²x的单调增区间是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（3）由bcosC=ccosB，及正弦定理得：sinBcosC=sinCcosB，∴sin（B-C）=0，∴B=C．
∵f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{8}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A+$\frac{π}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∵AB=3，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{4}{5}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查二倍角公式，涉及三角函数的最大值，单调性，三角形面积公式，属中档题．