Question

18．对数函数f（x）的图象过点（2，-1），函数g（x）=f（|x|）-x²．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）求使g（x-1）+1＜0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式，代入求解即可．
（2）化简不等式，利用函数的单调性转化求解即可．

解答 解：（1）设f（x）=log_ax，函数f（x）的图象过点（2，-1），
可得-1=log_a2，解得a=$\frac{1}{2}$．
函数f（x）的解析式：f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．
（2）g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x|-x²在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，且在（0，+∞）上减函数，
∴g（x-1）+1＜0?g（x-1）＜-1=g（1）．
∴x-1＞1或x-1＜-1，
解得使g（x-1）+1＜0成立的x的取值范围：（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的应用，函数恒成立条件的转化，考查计算能力．