Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1
（Ⅰ） 求f（1），f(

1

2

)，f（16）的值；                  
（Ⅱ） 求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；               
（Ⅲ） 求方程4sinx=f（x）的根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1）；然后令m=2 n=

1

2

，即可求出f(

1

2

)的值；再根据f（16）=2f（4）=4f（2），求得f（16）的值．
（Ⅱ）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论．
（Ⅲ）分别画出y=4sinx的图象与y=f（x）的图象，结合图象以及函数的单调性判定出交点的个数即可．

解答： 解：（Ⅰ）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令m=2 n=

1

2

，则f（1）=f（2×

1

2

）=0=f（2）+f（

1

2

），∴f（

1

2

）=-f（2）=-1．
f（16）=2f（4）=4f（2）=4．
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁），∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
所以，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（Ⅲ） ）∵y=4sinx的图象如右图所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，
由图象在[0，2π]内有1个交点，
在（2π，4π]内有2个交点，
在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断与证明，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．