Question

已知矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF=DE=AD=

1

2

AB=2，O为BD中点．
（Ⅰ）求证：EO∥平面BCF；
（Ⅱ）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC的中点G，连接OG，FG，可证得：EOGF为平行四边形，即EO∥FG，进而运用线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）将多面体分割成棱锥F-ABCD和F-ADE，进而运用三棱锥的体积公式即可得到体积．

解答： 证明：（Ⅰ）取BC的中点G，连接OG，FG，

∵O为为BD中点，
∴OG∥CD，且OG=

1

2

CD，
又∵EF∥DC，EF=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴EF∥OG，且EF=OG，
∴四边形EOGF为平行四边形，即EO∥FG，
又∵EO?平面BCF，FG?平面BCF，
∴EO∥平面BCF；
（Ⅱ）∵ED⊥平面ABCD，EF∥DC，
故F点到底面ABCD的距离等于ED=2，
故棱锥F-ABCD的体积为：

1

3

×2×4×2=

16

3

，
又∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，
故CD⊥平面ADE，
又由EF∥DC，
∴EF⊥平面ADE，
∴棱锥F-ADE的体积为：

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，
又∵几何体ABCDEF可分割成棱锥F-ABCD和F-ADE，
故几何体ABCDEF的体积V=

16

3

+

4

3

=

20

3

．

点评：本题主要考查线面平行的判定方法，同时考查割补思想，以及棱锥的体积公式．