题目内容

19．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BC}$=3，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\frac{3}{4}$．

分析 用三角形各边向量表示出$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}$，再计算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CF}$．

解答 解：设$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BA}$，
则$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{BC}+λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{CB}+μ\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BC}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$+λ$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=4-2λ，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}$=μ$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2μ，
∵$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BC}=3$，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=（$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$）=-${\overrightarrow{BC}}^{2}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BA}$=-4+$\frac{3}{2}$+1+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

练习册系列答案
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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=AB=AC=a，AD=$\sqrt{2}$a，PA⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）在棱PC上是否存在一点E，使得四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{{\sqrt{2}{a^3}}}{6}$？若存在，求出λ=$\frac{CE}{CP}$的值？若不存在，说明理由．
10．若函数$f（x）=x（1-\frac{2}{{{e^x}+1}}）$则函数f（x）的图象关于（　　）
A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对
7．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+2x-a，则满足f（x2-3x-1）+9＜0的实数x的取值范围是（　　）
A．（-2，-1）B．（-1，0）C．（0，1）D．（1，2）
14．计算：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{n}^{2}+n+1}{2{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{2}$．
4．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是$\frac{2}{105}$．
11．如图，已知直线l：x+$\sqrt{3}$y-c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．
（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；
（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？
15．设a=log85，b=log43，c=（$\frac{4}{5}$）2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b
16．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ）和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.27%，95.45%和99.73%，某中学为10000名员工定制校服，设学生的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，25），则适合身高在158～188cm范围内学生穿的校服大约要定制9973套．

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