Question

12．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80π，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{19}}}{19}$
• D． $\frac{{\sqrt{30}}}{30}$

Answer 1

分析 作平面ABCD的垂线OM，则M为正方形中心，∠OAM为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，AM，即可得出所求角的余弦值．

解答 解：过O作OM⊥平面ABCD，垂足我M，则M为正方形ABCD的中心．
∵正方形ABCD的边长为2，∴AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵S_球O=4πr²=80π，∴球O的半径OA=r=2$\sqrt{5}$．
∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查了线面角的计算，球的结构特征，属于基础题．