题目内容
6．对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．（1）若an=2n-1，bn=4n-2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；
（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．
分析 （1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；
（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式．
解答 解：（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．
理由：由an=2n-1，bn=4n-2，可得4∉A，4∉B，
即有4∉A∪B=N*，即有{an}与{bn}不是无穷互补数列；
（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，
由{an}与{bn}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，
即有数列{bn}的前16项的和为
（1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=$\frac{1+20}{2}$×20-30=180；
（3）设{an}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，
由a1=36-15d≥1，可得d=1或2，
若d=1，则a1=21，an=n+20，bn=n（1≤n≤20），
与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾，舍去；
若d=2，则a1=6，an=2n+4，bn=$\left\{\begin{array}{l}{n，n≤5}\\{2n-5，n＞5}\end{array}\right.$．
综上可得，an=2n+4，bn=$\left\{\begin{array}{l}{n，n≤5}\\{2n-5，n＞5}\end{array}\right.$．
点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．
练习册系列答案
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14．某程序框图如图所示，其中n∈N*，若程序运行后，输出S的结果是（ ）
| A． | $\frac{n（3n-1）}{2}$ | B． | $\frac{（3n+2）（n+1）}{2}$ | C． | $\frac{（3n-2）（n+1）}{2}$ | D． | $\frac{（3n+2）（n-1）}{2}$ |
5．
如图所示，直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于点P，Q两点，由P，Q分别作抛物线的切线交于M，如果|PF|=a，|QF|=b，则|MF|的值为（ ）
如图所示，直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于点P，Q两点，由P，Q分别作抛物线的切线交于M，如果|PF|=a，|QF|=b，则|MF|的值为（ ）| A． | a+b | B． | $\frac{1}{2}（a+b）$ | C． | ab | D． | $\sqrt{ab}$ |
12．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80π，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$ | B． | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | C． | $\frac{{\sqrt{19}}}{19}$ | D． | $\frac{{\sqrt{30}}}{30}$ |