Question

17．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$的左、右焦点，点P是该椭圆上一个动点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [-2，1）
• B． （-2，1）
• C． （-2，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得焦点坐标，设P（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，再由P满足椭圆方程，整理可得二次函数，运用椭圆的范围，即可得到所求范围．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设P（m，n），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-m）（$\sqrt{3}$-m）+n²=m²+n²-3，
由m²+4n²=4，可得m²=4-4n²，（-1≤n≤1），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1-3n²，（-1≤n≤1），
则n=0时，取得最大值1，n=±1时，取得最小值-2．
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范围是[-2，1]．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．