Question

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：
①y=sinx；
②y=2^x；
③y=

1

x-1

；
④f（x）=lnx，
则其中“Ω函数”共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可．

解答： 解：若?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，
即等价为?x∈D，?y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）+f（-x）=0，∴当y=-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．
B．∵f（x）=2^x＞0，∴2^x+2^y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．
C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得

1

x-1

+

1

y-1

=0，即

x+y-2

(x-1)(y-1)

=0，
∴x+y-2=0，即y=2-x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．
D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=

1

x

时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．
综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，
故选：C

点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为f（x）+f（y）=0是解决本题的关键．