Question

已知变量x，y满足约束条件

x-2y+1≤0 2x-y≥0 x≤1

，则z=

x+1

y+1

的最大值为a，最小值为b，则a-b的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  1

  3

• D、1

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：由约束条件作出可行域，由z=

x+1

y+1

的几何意义可知当（x，y）为可行域内A的坐标时，z=

x+1

y+1

有最大值，当（x，y）为可行域内B的坐标时，z=

x+1

y+1

有最小值，则答案可求．

解答： 解：由约束条件

x-2y+1≤0 2x-y≥0 x≤1

作可行域如图，

∵z=

x+1

y+1

=

x-(-1)

y-(-1)

，
其几何意义是可行域内的动点与定点P（-1，-1）连线斜率的倒数．
由图可知，当可行域内的动点为A时，k_PA最小，其倒数最大．
联立

x=1 x-2y+1=0

，解得A（1，1）．
∴a=

1+1

1+1

=1；
当可行域内的动点为B时，k_PB最大，其倒数最小．
联立

x=1 2x-y=0

，解得B（1，2）．
∴b=

1+1

2+1

=

2

3

．
∴a-b=

1

3

．
故选：C．

点评：本题考查线性规划问题，近年来线性规划问题是高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视，是中档题．