题目内容
已知函数f（x）=
，g(x)=
（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）
x
| ||||
| 5 |
x
| ||||
| 5 |
（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值即可得到结论．
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值即可得到结论．
解答：
解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
则f（x）=
=-
=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
当x＞0时，函数y=x
为增函数，y=x-
为减函数，
∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f（x）为增函数，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=
f(22)-5f(2)g(2)=
-5?
?
=
-
=0
f（9）-5f（3）•g（3）=f(32)-5f(3)g(3)=
-5?
?
=
-
=0．
则f（x）=
(-x)
| ||||
| 5 |
x
| ||||
| 5 |
∴函数f（x）是奇函数．
当x＞0时，函数y=x
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f（x）为增函数，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=
f(22)-5f(2)g(2)=
2
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| 5 |
2
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| 5 |
2
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2
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2
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| 5 |
f（9）-5f（3）•g（3）=f(32)-5f(3)g(3)=
3
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| 5 |
3
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3
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3
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| 5 |
3
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| 5 |
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及指数幂的运算，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．
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