Question

某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学在同一个小组的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质计算出各组人数，从而求出各组频率，即可补全频率分布直方图；
（Ⅱ）列举抽样的所有可能，找出符合题意得基本事件个数，利用概率个数计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，
∴总人数为：5×60=300，
由直方图可知，
第五组人数为：0.02×5×300=30人，
又∵

60-30

2

=15为公差，
∴第一组人数为：45人，
第二组人数为：75人，
第三组人数为：90人．
∴第1至第4组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20．
如图可补全频率分布直方图．
（Ⅱ）第四组中抽取人数：

6

90

×60=4人，
第五组中抽取人数：

6

90

×30=2人，
∴95分以上的共2人．
设第四组抽取的四人为A₁，A₂，A₃，A₄，
第五组抽取的2人为B₁，B₂，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B₁，B₂在同一小组有4种可能结果，
情况二：B₁，B₂不在同一小组有6种可能结果，
总共10种可能结果，
∴两人在一组的概率为

4

10

=

2

5

．

点评：本题考查等差数列性质与频率分布直方图的综合应用，古典概型概率的计算，属于中档题．