Question

15．已知复数${z_1}={m^2}-2m+（{2{m^2}-9m}）i$，z₂=-m+i为虚数单位，（m∈R）
（1）当复数z₁为纯虚数时，求m的取值
（2）当实数m∈[1，2]时，复数z=z₁z₂，求复数z的实部最值．

Answer 1

分析 （1）利用纯虚数的定义即可得出．
（2）利用复数的运算法则可得：实部=9m-m³，利用导数研究其最值即可得出．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m=0}\\{2{m}^{2}-9m≠0}\end{array}\right.$，∴m=2．（3分）
（2）$Z={z_1}{z_2}=[{m^2}-2m+（2{m^2}-9m）i][-m+i]$
$\begin{array}{l}=2{m^2}-{m^3}-2{m^2}+9m+（{m^2}-2m）i-（{2{m^3}-9{m^2}}）i\\=9m-{m^3}+（10{m^2}-2{m^3}-2m）i\end{array}$
设g（m）=9m-m³，m∈[1，2]，g′（m）=9-3m²=0，可得$m=\sqrt{3}或m=-\sqrt{3}（舍去）$（6分）
所以，当$m∈（1，\sqrt{3}）$时，g'（m）＞0，所以g（m）在此区间单调递增；
当$m∈（\sqrt{3}，2）$时，g'（m）＜0，所以g（m）在此区间单调递减；           
∵g（1）=8，g（2）=10，g（$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$．
∴g（m）的最大值为：g（$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$，最小值为g（1）=8．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．