Question

15．有N个人随机等可能地抢n（1≤n≤N）个红包，红包金额互不相同，且全部被抢光．
（1）若每人最多可以抢一个红包，则有多少种结果？若每人可以抢多个红包，则有多少种结果？
（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A_k，求事件A_k的概率P（A_k）；
（3）求某指定的人抢到的红包个数X的数学期望E（X），请写出推理过程．

Answer 1

分析 （1）若每人最多可以抢一个红包，则有${A}_{N}^{n}$种结果，若每人可以抢多个红包，则有Nⁿ种结果．
（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A_k，利用等可能事件概率计算公式能求出事件A_k的概率．
（3）当n≥2时，kP（A_k）=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}（1-\frac{1}{N}）^{n-k}（\frac{1}{N}）^{k-1}$，从而推导出E（X）=$\frac{n}{N}[（1-\frac{1}{N}）+（\frac{1}{N}）]^{n-1}$=$\frac{n}{N}$．当n=1时，E（X）=$\frac{1}{N}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）若每人最多可以抢一个红包，则有${A}_{N}^{n}$种结果，
若每人可以抢多个红包，则有Nⁿ种结果．
（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A_k，
则事件A_k的概率P（A_k）=$\frac{{C}_{n}^{k}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$．
（3）当n≥2时，kP（A_k）=$\frac{k{C}_{n}^{k}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$=$\frac{n{C}_{n-1}^{k-1}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$
=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}\frac{（N-1）^{n-k}}{{N}^{（n+k）+（k-1）}}$=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}（1-\frac{1}{N}）^{n-k}（\frac{1}{N}）^{k-1}$，
又E（X）=0×P（A₀）+1×P（A₁）+2×P（A₂）+…+k×P（A_k）+…+n×P（A_n）
=$\frac{n}{N}$[${C}_{n-1}^{0}（1-\frac{1}{N}）^{n-1}（\frac{1}{N}）^{0}$+${C}_{n-1}^{1}（1-\frac{1}{N}）^{n-2}（\frac{1}{N}）$+…+${C}_{n-1}^{n-1}（1-\frac{1}{N}）^{0}（\frac{1}{N}）^{n-1}$]
=$\frac{n}{N}[（1-\frac{1}{N}）+（\frac{1}{N}）]^{n-1}$=$\frac{n}{N}$．
当n=1时，E（X）=$\frac{1}{N}$，
综上，E（X）=$\frac{n}{N}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．