题目内容
7．就实数a的取值范围，讨论关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴的交点个数．分析 利用倍角公式化余弦为正弦，令t=sinx换元后化为关于t的一元二次函数，结合一元二次方程根的分别分类讨论得答案．
解答 解：y=cos2x+2sinx+2a-3=-2sin2x+2sinx+2a-2，
令t=sinx（-1≤t≤1），
则函数化为f（t）=-2t2+2t+2a-2．
对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$．
若△=4+8（2a-2）＜0，即a$＜\frac{3}{4}$，
函数f（t）无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点；
若△=4+8（2a-2）=0，即a=$\frac{3}{4}$，
函数f（t）=$-2{t}^{2}+2t-\frac{1}{2}$，零点为$\frac{1}{2}$．
由sinx=$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{π}{6}$，或x=$\frac{5π}{6}$，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2＜0，即$\frac{3}{4}$＜a＜1，
函数f（t）有两个大于0小于1的零点，即sinx有两个不等正根，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2=0，即a=1，函数f（t）的两个零点为0，1．
由sinx=0，sinx=1，可得关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；
若f（0）=2a-2＞0，且f（-1）=2a-6＜0，即1＜a＜3，f（t）有一零点为负数，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
若f（-1）=0，即a=3，f（t）有一零点-1，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；
若f（-1）＞0，即a＞3，f（t）在[-1，1]内无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点．
综上，当a＜$\frac{3}{4}$或a＞3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴无交点；
当a=3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；
当a=$\frac{3}{4}$或1＜a＜3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；
当a=1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；
当$\frac{3}{4}$＜a＜1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点．
点评 本题考查函数零点判定定理，考查分类讨论的数学思想方法，训练了一元二次方程根的分别及其应用，是中档题．
| 年份 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| x用户（万户） | 1 | 1.1 | 1.5 | 1.6 | 1.8 |
| y（万立方米） | 6 | 7 | 9 | 11 | 12 |
（2）求回归方程；
（3）若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？
（ $b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）\;（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}a=\overline y-b\overline x$）
如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．