Question

设A、B是双曲线E的两焦点，点C在E上，且∠CBA=

π

4

，若AB=8，BC=

2

，则双曲线E的一个焦点到其中一条渐近线的距离为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用余弦定理求出AC，根据双曲线的定义，即可得出双曲线方程以及焦点坐标和渐近线方程，结果可求．

解答： 解：设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
因为点C在E上，且∠CBA=

π

4

，若AB=8，BC=

2

，结合余弦定理求得AC=

AB2+BC2-2AB×BC× 2 2

=5

2

，所以2a=AC-BC=4

2

，所以a=2

2

，又c=

1

2

×AB=4，
所以双曲线方程为x²-y²=²8，一个焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为x-y=0，
所以双曲线E的一个焦点到其中一条渐近线的距离为

4

2

=2

2

；
故答案为：2

2

．

点评：本题考查了双曲线的标准方程的求法以及相关性质的运用，属于基础题．