Question

19．函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）的图象交点个数为（　　）

• A． 没有交点
• B． 一个交点
• C． 两个交点
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用导数的几何意义，互为反函数的性质即可得出交点的个数．

解答 解：函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，
①指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切时，此时，f′（x）=$\frac{1}{xlnx}$，x=$\frac{1}{lna}$，f（x）=${a}^{\frac{1}{lna}}$，
由$\frac{{a}^{\frac{1}{lna}}-0}{\frac{1}{lna}-0}$=1，解得a=${e}^{\frac{1}{e}}$．f（x）=a^x与g（x）=log_ax仅有一个交点．
②$a＞{e}^{\frac{1}{e}}$，指数函数y=a^x的图象与直线y=x无交点，因此函数y=a^x的图象和函数 y=log_ax图象无交点．
③$1＜a＜{e}^{\frac{1}{e}}$时，指数函数y=a^x的图象与直线y=x有两个交点，因此函数y=a^x的图象和函数 y=log_ax图象有两个交点．
综上：函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）的图象交点个数与a的取值有关系．
故选：D．

点评 本题考查了导数的几何意义，互为反函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．