Question

11．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=$\frac{1}{2}$CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若E是PC的中点，求三棱锥D-PEB的体积．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD．结合CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，可得ABCD为正方形，得到AD⊥CD，则AD⊥底面PCD，再由面面垂直的判定得平面PAD⊥底面PCD；
（2）由PD=DC，E是PC的中点，得DE⊥PC．结合（1）知AD⊥底面PCD，得AD⊥DE．从而得到BC⊥DE．进一步得到DE⊥底面PBC．然后求解直角三角形得到三角形PBC的面积代入体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，∴ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥底面PCD；
（2）解：∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．
由（1）知有AD⊥底面PCD，∴AD⊥DE．
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，可得DE⊥底面PBC．
∴DE=$\sqrt{2}$，PC=2$\sqrt{2}$，
又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴AD⊥BC．
∴S_△PEB=$\frac{1}{2}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2}×BC×PC）$=$\sqrt{2}$
∴V_D-PEB=$\frac{1}{3}$×DE×S_△PEB=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判断，考查了棱锥体积的求法，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．