Question

16．已知函数f（x）=2lnx-ax²+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n-m≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（　　）

• A． $\frac{ln5-ln3}{8}$
• B． $\frac{ln3}{4}$
• C． $\frac{ln5+ln3}{8}$
• D． $\frac{ln4}{3}$

Answer 1

分析 由f（m）=f（n）⇒2lnn-an²+3=2lnm-am²+3，得a=$\frac{lnn-lnm}{{n}^{2}-{m}^{2}}$．令n=m+t，（t≥1），则a=$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，显然g（m）═$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，在m∈[1，+∞）单调递减，得a≤g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2）
令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），h′（t）=$\frac{{t}^{2}+2t-2ln（t+1）（t+1）^{2}}{[t（t+2）]^{2}（t+1）}$，根据h（t）的单调性求得实数a的最大值．

解答 解：由f（m）=f（n）⇒2lnn-an²+3=2lnm-am²+3，∴a=$\frac{lnn-lnm}{{n}^{2}-{m}^{2}}$．
令n=m+t，（t≥1），则a=$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，（m∈[1，5]，t≥2）
显然g（m）═$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，在m∈[1，+∞）单调递减，∴a≤g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥1）
令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），h′（t）=$\frac{{t}^{2}+2t-2ln（t+1）（t+1）^{2}}{[t（t+2）]^{2}（t+1）}$
∵t≥2，∴2ln（t+1）＞1，则t²+2t-2ln（t+1）（t+1）²＜0，
∴令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），单调递减，
∴$a≤h（2）=\frac{ln3}{4}$
∴实数a的最大值为$\frac{ln3}{4}$．
故选：B

点评 本题考查了利用导数求函数的单调性、最值，考查了转化思想，计算能力，属于难题．