Question

已知

OA

，

OB

是不共线的向量，点C在直线AB上，且满足

OC

=（sinα-

1

5

）•

OA

+（1+cosα）•

OB

，α∈（0，π），则tanα的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由已知条件得A，B，C三点共线，所以存在实数k使得：

AC

=k

AB

，这样可得到

OC

=(1-k)

OA

+k

OB

，根据平面向量基本定理便得到，

sinα- 1 5 =1-k 1+cosα=k

，结合sin²α+cos²α=1便可解出sinα，cosα，所以即可求出tanα．

解答： 解：C在直线AB上，∴C，A，B三点共线，所以存在实数k，使：

AC

=k

AB

，即，

OC

-

OA

=k(

OB

-

OA

)，∴

OC

=(1-k)

OA

+k

OB

；
∴根据平面向量基本定理有，

sinα- 1 5 =1-k 1+cosα=k

，∴sinα-

1

5

+1+cosα=1，即sinα+cosα=

1

5

    ①；
又sin²α+cos²α=1      ②，∴由①得cosα=

1

5

-sinα，带入②并整理得：25sin²α-5sinα-12=0，解得sinα=

4

5

，或-

3

5

；
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，∴sinα=

4

5

，cosα-

3

5

；
∴tanα=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

．

点评：考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，在求sinα，cosα时注意α的范围．