Question

某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ²）（满分为100分），已知P（X＜75）=0.3，P（X≥95）=0.1，现从该市高三学生随机抽取三位同学．
（1）求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同学的概率；
（2）记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，由此能求出抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同学的概率．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，从而ξ服从二项分布B（3，0.4），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（1）P（80≤X＜85）=1-P（X≤75）=0.2，
P（85≤x＜95）=0.3-0.1=0.2，
所以所求概率P=

A

3 3

×0.2×0.2×0.1=0.024．
（2）P（75≤X≤85）=1-2P（X＜75）=0.4，
所以ξ服从二项分布B（3，0.4），
P（ξ=0）=0.6³=0.216，
P（ξ=1）=3×0.4×0.6²=0.432，
P（ξ=2）=3×0.4²×0.6=0.288，
P（ξ=3）=0.4³=0.064，
所以随机变量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

Eξ=3×0.4=1.2．（人）．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机就是的分布列和数学期望的合理运用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．